Cho đa thức P(x) = x5+ax4+bx3+cx2+dx+e có giá trị là: -14; -9; 0; 13; 30 khi x lần lượt nhận giá trị là: 1; 2; 3; 4; 5.

a) Tìm biểu thức hàm của đa thức P(x).

b) Tính giá trị chính xác của P(17), P(25), P(59), P(157).

( Trích bài 2, kỳ thi chọn học sinh giải toán trên máy tính tỉnh Thừa Thiên Huế, lớp 9 THCS, năm học 2009-2010)

Giải

a) Đa thức P(x) có thể viết dưới dạng:

P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + (x-3)(ax+b)

{P(1)=-14P(2)=-9

⇔{a+b=72a+b=9

⇔{a=2b=5

Với giá trị a và b vừa tìm, thử lại P(4) = 13; P(5) = 30 đúng giả thiết bài toán cho.

Vậy: P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + (x-3)(2x+5)

b)

P(17) = 524706;

P(25) = 5101690;

P(59) = 549860808;

P(157) = 8.659888145 ×1010

⇒ P(157) = 86598881446.

Cho đa thức P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Tìm a, b, c, d, e biết P(x) chia hết cho (x2 -1), P(x) chia cho (x2 +2) dư x và P(2) = 2012

( Trích đề thi HSGMT TP.HCM, THCS, 2006-2007)

Giải:

Ta có: P(x) chia cho x2 +2 dư x nên P(x)=(x2 +2)(ax2 +mx+n)+x

Vì P(x) chia hết cho x2 -1 nên P(1) = 0 ; P( -1) = 0

Thay x = 1; - 1 và 2 vào P(x), ta có hệ:

{ a+m+n= -13  a-m+n=13  4a+2m+n=335  

Dùng máy tính ta giải được: a=10079;m= -13;n= -10079

suy ra: P(x)=(x2 +2)(10079x2 -13x-10079)+x
⇒P(x)=10079x4 -13x3 +10079x2 +13x-20149

Vậy a=10079;b= -13;c=10079;d=13;e= -20149

Cho hai đa thức P(x)=6x4  -x3 +ax2 +bx+4 và Q(x)=x2-4.

a) Háy tìm a, b để P(x) chia hết cho Q(x)

b) Với a, b tìm được, hãy tìm đa thức thương của phép chia trên.

( Trích đề thi HSGMT Hải Phòng, lớp 8, 2002-2003)

Giải:

Ta có: P(x) chia hết cho Q(x) nên ta có P(2) = 0 và P( - 2) = 0

⇒{ 4a+2b= -92  4a-2b= -108    (*)

Quy trình bấm phím như sau:

1. Chọn chương trình giải hệ 2 ẩn

Vì P(x) chia hết cho  Q(x)=x2-4 nên 6x4  -x3 -25x2 +4x+4=(x2-4)(6x2+mx-1) (**)

Thay x = 1 vào (**), ta có: -12=-3(m+5) ⇒ m = -1

⇒  P(x)=(x2-4)(6x2-x-1)

Vậy a) a= -25; b = 4

       b) thương của phép chia P(x) cho Q(x) là 6x2-x-1